Numbers from 1 to 9999 and their corresponding total stopping timeHistogram of total stopping times for the numbers 1 to 100 million. Total stopping time is on the x axis, frequency on the y axis. Note that for all positive integers the histogram would be a completely different, exponentially-growing sequence (see #In reverse)Iteration time for inputs of 2 to 10,000,000

Xét một phép toán sau tác động lên một số nguyên dương bất kỳ:

• Nếu nó là số chẵn, chia số đó cho 2.
• Nếu nó là số lẻ, nhân số đó với 3 và cộng 1.

Theo ký hiệu của số học mô đun, hàm số f được xác định như sau:

f ( n ) = { n / 2 nếu  n ≡ 0 ( mod 2 ) 3 n + 1 nếu  n ≡ 1 ( mod 2 ) . {\displaystyle f(n)={\begin{cases}n/2&{\text{nếu }}n\equiv 0{\pmod {2}}\\3n+1&{\text{nếu }}n\equiv 1{\pmod {2}}.\end{cases}}}

Sau đó một dãy số được hình thành từ các phép tính lặp lại này, bắt đầu bằng một số tự nhiên bất kỳ, mỗi số sau được xác định từ số trước đó.

Viết bằng ký hiệu:

a i = { n với  i = 0 f ( a i − 1 ) với  i > 0 {\displaystyle a_{i}={\begin{cases}n&{\text{với }}i=0\\f(a_{i-1})&{\text{với }}i>0\end{cases}}}

(nghĩa là: a i {\displaystyle a_{i}} là giá trị của f {\displaystyle f} áp dụng với n {\displaystyle n} bằng cách lặp đệ quy i {\displaystyle i} lần; a i = f i ( n ) {\displaystyle a_{i}=f^{i}(n)} ).

Phỏng đoán Collatz cho rằng: Quá trình cuối cùng sẽ tiến tới 1, bất kể giá trị ban đầu được chọn bằng bao nhiêu.

Giá trị i nhỏ nhất sao cho ai = 1 được gọi là tổng thời gian dừng của n.[3] Phỏng đoán Collatz cho rằng n có tổng thời gian dừng hữu hạn. Nếu, ví dụ có một số n nào đó, mà không tồn tại i, chúng ta nói rằng n có tổng thời gian dừng vô hạn và phỏng đoán bị bác bỏ.

Nếu phỏng đoán bị sai, khi ấy bởi vì với một số ban đầu nào đó sẽ cho các số tiếp theo mà không chứa 1. Dãy số này sẽ phải đi vào một vòng lặp mà không có 1, hoặc tăng tiến mà không bị chặn. Vẫn chưa có dãy nào như vậy được tìm thấy.